9. Rotor Rígido#

Este sistema consiste en dos partículas de masa \(m_1\) y \(m_2\) moviéndose con una separación constante \(r=r_2-r_1\).

El Hamiltoniano consta de los términos de energía cinética de ambas partículas

\[ H = -\frac{\hbar^2}{2m_1} \nabla^2_1 -\frac{\hbar^2}{2m_2} \nabla^2_2 \]

Inserto matemático: Sistema de masa reducida

Este sistema es equivalente al de una partícula de masa reducida (\(\mu\)) girando en torno al centro de masa de ambas partículas (\({\rm cm}\)). La masa total del sistema está dada por la suma de las masas de las partículas

\[ m_T = m_1 + m_2 \]

La masa reducida de la nueva partícula está dada por

\[ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \]

El centro de masa del sistema se calcula mediante

\[ R_{\rm cm} = \left( \frac{m_1}{m_T} \right) r_1 + \left( \frac{m_2}{m_T} \right) r_2 \]

y el Hamiltoniano se calcula con la energía cinética de la masa reducida y del centro de masa, es decir

\[ H = -\frac{\hbar^2}{2m_T} \nabla^2_{\rm cm} - \frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2_{\mu} \]

La ecuación de Schrödinger a resolver es

\[ \left(-\frac{\hbar^2}{2m_T} \nabla^2_{\rm cm} - \frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2_{\mu}\right) \psi = E \psi \]

Se propone que la eigenfunción se puede separar en el producto de una eigenfunción del centro de masa y una eigenfunción de la partícula de masa reducida

\[ \psi=\psi_{cm}\psi_{\mu} \]

Al sustituir en la ecuación de Schrödinger se obtiene

\[ \left(-\frac{\hbar^2}{2m_T} \nabla^2_{\rm cm} - \frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2_{\mu}\right) \psi_{\rm cm}\psi_{\mu} = E \psi_{cm}\psi_{\mu} \]

Si consideramos que la energía está dada por \(E_T = E_{\rm cm} + E_{r}\) y distribuimos, resulta

\[ -\psi_{\mu} \frac{\hbar^2}{2m_T} \nabla^2_{\rm cm} \psi_{\rm cm} - \psi_{\rm cm}\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2_{\mu} \psi_{\mu} = \psi_{\mu} E_{\rm cm} \psi_{\rm cm} + \psi_{\rm cm} E_{\mu} \psi_{\mu} \]

Si multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por \(\frac{1}{\psi_{\mu}\psi_{cm}}\), resulta

\[ -\frac{1}{\psi_{\rm cm}} \left( \frac{\hbar^2}{2m_T} \nabla^2_{\rm cm} \psi_{\rm cm} - E_{\rm cm} \psi_{\rm cm} \right) = \frac{1}{\psi_{\mu}} \left( \frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2_{\mu} \psi_{\mu} + E_{\mu} \psi_{\mu} \right) \]

ya que el lado izquierdo solo depende de las coordenadas del centro de masa, y el lado derecho solo depende de las coordenadas de la masa reducida, ambos lados deben ser igual a una constante. Si elegimos esta constante como cero, y despejamos lo que está dentro de cada paréntesis se obtienen dos ecuaciones independientes.

Después de cambiar a un sistema de masa reducida se obtienen dos ecuaciones.

La primera ecuación corresponde al movimiento del centro de masa del sistema y la hemos estudiado previamente en el movimiento de la partícula libre

\[ -\frac{\hbar^2}{2m_T} \nabla^2_{\rm cm} \psi_{\rm cm} = E_{\rm cm} \psi_{\rm cm} \]

esta ecuación tiene como soluciones

\[ \psi_{\rm cm} = A e^{ikx} + B e^{-ikx} \]

con \(k^2=2m_TE/\hbar^2\), y simplemente nos dice que el sistema en conjunto se mueve libremente por el espacio.

La segunda ecuación corresponde a la masa reducida, y la hemos estudiado en la partícula en la esfera

\[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2_{\mu} \psi_{\mu} = E_{\mu} \psi_{\mu} \]

sabemos por tanto que su solución son los armónico esféricos \(Y_l^{m_l}(\theta,\phi)\) con \(E = \frac{l(l+1)\hbar^2}{2\mu |r|^2}\).

9.1. Referencias#

  • C.C. Pye, On the Solution of the Quantum Rigid Rotor, J. Chem. Educ. 83, 460 (2006).

  • P. W. Atkins, y R. Friedman, Molecular Quantum Mechanics (Oxford University Press, 2005).

  • I.N. Levine, D.H. Busch, y H. Shull, Quantum chemistry (Pearson Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 2009).

  • D.A. McQuarrie y J.D. Simon, Physical Chemistry: A Molecular Approach (University Science Books, 1997).