11. Solución Radial#

El sistema consta de un electrón y un núcleo (protón) con una interacción inversamente proporcional a la distancia entre ellos.

El Hamiltoniano de este sistema contiene la energía cinética del electrón, la energía cinética del núcleo y la interacción coulómbica núcleo-electrón.

\[ H=-\frac{\hbar^2}{2m_N}\nabla^2_N-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2_e-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0|\vec{r}_N-\vec{r}_e|} \]

La ecuación de Schrödinger a resolver es

\[ \left(-\frac{\hbar^2}{2m_N}\nabla^2_N-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2_e-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0|\vec{r}_N-\vec{r}_e|}\right) \Psi = E \Psi \]

Inserto matemático: Cambio a sistema de masa reducida

El problema se puede simplificar al utilizar coordenadas de masa reducida. La masa reducida tiene masa \(\mu\) y coordenadas \(r\), el centro de masa tiene masa \(m_T\) y coordenadas \(R_{\rm cm}\). Para ver como hacer este cambio, vea Rotor Rígido.

La nueva ecuación de Schrödinger es

\[ \left(-\frac{\hbar^2}{2m_T}\nabla^2_{\cm cm}-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2_{\mu}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}\right) \Psi = E \Psi \]

La eigenfunción \(\Psi\) de la ecuación anterior depende de las coordenadas del centro de masa, \(R_{\rm cm}\) y de las coordenadas de la masa reducida, \(r\). Se propone una solución por separación de variables, tal que \(\Psi(R,r) = \Phi(R_{\rm cm}) \psi(r)\). Al sustituir en la ecuación de Schrodinger se obtienen 2 ecuaciones

\[ \left(-\frac{\hbar^2}{2m_T}\nabla^2_{cm}\right) \Phi = E_{cm} \Phi \]

\[ \left(-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2_{\mu}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}\right) \psi = E \psi \]

La primera ecuación corresponde al movimiento de una partícula libre.

Para resolver la segunda ecuación cambiamos a coordenadas esféricas, recordando que (vea Partícula en la esfera)

\[ \nabla^2_{\mu}=\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) = \left( \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} r + \frac{1}{r^2} \Lambda^2 \right) \]

Entonces

\[ \left(-\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} r -\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{1}{r^2} \Lambda^2 -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}\right) \psi = E \psi \]

Inserto matemático: Separación de variables

Se propone que la eigenfunción \(\psi\) puede ser separada en una parte radial y una parte angular, es decir

\[ \psi=R(r)Y(\theta,\phi) \]

Esto genera una ecuación a resolver para la parte radial (y una para la parte angular que trataremos posteriormente)

\[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{1}{r} \frac{d^2(rR)}{dr^2} - \left[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r} -\frac{l(l+1)\hbar^2}{2\mu r^2} \right] R = ER \]

Las soluciones a la ecuación radial son

\[ R_{n,l}(r) = -N_{n,l} \left( \frac{2r}{na_0} \right)^l e^{-r/na_0} L_{n+l}^{2l+1} \left( \frac{2r}{n a_0} \right) \]

aquí han surgido los números cuánticos

\[ n=1,2,3,... \]

\[ l=0,...,n-1 \]

\(N_{n,l}\) toma la forma

\[ N_{n,l} = \left( \frac{2}{na_0} \right)^{3/2} \sqrt{\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3}} \]

\(L_{n+l}^{2l+1}\) son los polinomios asociados de Laguerre

Inserto matemático: Polinomios de Laguerre

\[ L_{k}^N (r) = \frac{d^N}{dr^N} L_k(r) \]

\[ L_{k} (r) = e^r \frac{d^k}{dr^k} \left(r^k e^{-r}\right) \]

Importe las siguientes librerías

pyplot de matplotlib
numpy
derivative de scipy.misc
laguerre de scipy.special

# Librerías

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.misc import derivative
from scipy.special import laguerre

Defina una función que reciba valores de \(n\) y \(l\) y regresen la función \(R(r)\)

# def R(r)

def R_func(r,n,l):
    N = (2/(n*a0))**(3/2)*np.sqrt((np.math.factorial(n-l-1))/(2*n*((np.math.factorial(n+l)))**3))
    L = laguerre(n+l)
    L = L/np.abs(L[n+l])
    assoc_L = derivative(L,2*r/(n*a0),n=2*l+1,order=2*l+3)
    R = -N*(2*r/(n*a0))**l*np.exp(-r/(n*a0))*assoc_L
    
    return R

Grafique el cuadrado de la función de densidad de probabilidad del orbital 1s, \(R^2_{n=1,l=0}\), y su función de distribución radial \(r^2R^2_{n=1,l=0}\)

# Gráfica

r=np.linspace(0,25,100)

a0=1.0

n = 1
l = 0

R = R_func(r,n,l)

plt.plot(r,R**2,label=n)
plt.xlabel("$r$")
plt.ylabel("$R^2$")
plt.title("Función de densidad de probabilidad")
plt.show()

plt.plot(r,4*np.pi*r**2*R**2,label=n)
plt.xlabel("$r$")
plt.ylabel("$r^2R^2$")
plt.title("Función de distribución radial")
plt.show()

Realice la gráfica de \(R^2(r)\) (el cuadrado de la parte radial de la eigenfunción) para los orbitales 1s (\(n=1\), \(l=0\)),2s (\(n=2\), \(l=0\)),3s (\(n=3\), \(l=0\)) y 4s (\(n=4\), \(l=0\)), y de \(r^2R^2\).

# Gráfica

#Cambiar aqui para ajustar limites del eje X
r=np.linspace(0,25,100)

#Cambiar aqui para usar s,p,d,etc
l=0
#Cambiar aquí para elegir limites de los numeros cuanticos n
n_min=1
n_max=4

for n in range(n_min,n_max+1):
    R = R_func(r,n,l)
    plt.plot(r,R**2,label=n)

plt.legend()
#Cambiar aqui los titulos de los ejes
plt.xlabel("$r$")
plt.ylabel("$R^2$")
plt.title("$R^2(r)$ 1s, 2s ,3s y 4s")
plt.show()

for n in range(n_min,n_max+1):
    R = R_func(r,n,l)
    plt.plot(r,r**2*R**2,label=n)

plt.legend()
#Cambiar aqui los titulos de los ejes
plt.xlabel("$r$")
plt.ylabel("$r^2R^2$")
plt.title("$r^2R^2(r)$ 1s, 2s ,3s y 4s")
plt.show()

Cuántica I

Solución Radial

Contents

11. Solución Radial#

11.1. Referencias#